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  • Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (3) - SGCG
    forma cuasilineal que hace evidente la transmisión de información por convección o en forma de ondas Tienen esta forma general la suma de la derivada temporal de las variables primitivas más algo multiplicado por la derivada espacial de estas mismas variables primitivas se anula En la forma diferencial de conservación las derivadas espaciales no eran de las variables primitivas sino de unos flujos que eran magnitudes derivadas de éstas Podemos deducir la forma diferencial de no conservación a partir de la forma diferencial de conservación que a su vez deducíamos de la forma integral de conservación deducida ella a partir de primeros principios Recordemos las ecuaciones en forma diferencial de conservación t ρ ρ v 0 t ρ v ρ v v p I 0 t ρ e ρ v 2 2 ρ e v ρ v 2 v 2 p v 0 En estas ecuaciones I es el tensor unitario de rango 2 Si desarrollamos mediante la regla de la cadena las dos últimas ecuaciones la segunda ley de Newton y el principio de conservación de la energía podemos eliminar los términos dependientes de las derivadas de la densidad gracias a la primera ecuación la de conservación de la masa Unas pocas manipulaciones elementales nos devuelven las ecuaciones en su forma diferencial de no conservación Para la segunda ley de Newton tenemos el siguiente desarrollo t ρ v ρ t v ρ v v ρ v v p t ρ ρ v v ρ t v ρ v v p ρ t v v v p 0 El desarrollo para la ecuación de la energía sigue la misma mecánica t ρ e v 2 2 ρ t e v 2 2 ρ v e v 2 2 p v p v t ρ ρ v e v 2 2 ρ t e v 2 2 v e v 2 2 p v p v ρ t e v 2 2 v e v 2 2 p v p v 0 Deducimos con esto las ecuaciones que ya escribimos antes t ρ v ρ ρ v 0 t v v v 1 ρ p 0 t e v 2 2 v e v 2 2 1 ρ v p 1 ρ p v 0 Estas ecuaciones han de ser complementadas por una ecuación constitutiva que permita relacionar la presión la densidad y la energía interna por ejemplo puede ser aplicable el modelo de gas ideal en el que la presión la densidad y la temperatura están relacionados mediante la ecuación de estado de los gases ideales y la energía interna depende linealmente de la temperatura y sólo de la temperatura p ρ T Otros modelos más sofisticados también son útiles El problema principal de estas ecuaciones es que dejan de tener validez en cuanto aparece una discontinuidad pero las discontinuidades como las ondas de choque y las superficies de contacto tienden a aparecer con facilidad en muchos regímenes de gran interés En tales casos hay que recurrir momentáneamente a las

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  • Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (2) - SGCG
    es igual a cero Estas ecuaciones diferenciales suelen salir naturalmente de ecuaciones integrales de conservación que suelen relacionar con el tiempo una magnitud en un dominio con los flujos a través de su frontera Las ecuaciones de Euler en forma diferencial de conservación se deducen fácilmente a partir de su forma integral de conservación sin más que aplicar el teorema de la divergencia a las integrales de contorno y explotar el hecho de que las ecuaciones se cumplen en dominios arbitrarios Recordemos que las ecuaciones en forma integral aplicadas a un volumen V fijo pero arbitrario y de frontera S con vector unitario normal hacia el exterior n tenían este aspecto V t ρ d V S ρ v n d S 0 V t ρ v d V S ρ v v p I n d S 0 V t ρ e ρ v 2 2 d V S ρ e ρ v 2 2 p v n d S 0 Si aplicamos el teorema de la divergencia a las integrales de contorno quedan estas otras ecuaciones V t ρ ρ v d V 0 V t ρ v ρ v v p I d V 0 t ρ e ρ v 2 2 ρ e v ρ v 2 v 2 p v d V 0 El volumen de integración V es arbitrario así que para que se cumplan las ecuaciones los integrandos han de anularse en todos los puntos salvo quizá en conjuntos de contenido nulo Recuperamos por lo tanto las ecuaciones de Euler en forma diferencial de conservación t ρ ρ v 0 t ρ v ρ v v p I 0 t ρ e ρ v 2 2 ρ e v ρ v 2 v 2 p v 0 La primera ecuación es la de conservación de la masa La segunda la de la cantidad de movimiento la segunda ley de Newton en forma integral La última la de la energía Estas ecuaciones han de ser complementadas por una ecuación constitutiva que permita relacionar la presión la densidad y la energía interna por ejemplo puede ser aplicable el modelo de gas ideal en el que la presión la densidad y la temperatura están relacionados mediante la ecuación de estado de los gases ideales y la energía interna depende linealmente de la temperatura y sólo de la temperatura p ρ T Otros modelos más sofisticados también son útiles Además de esto hacen falta las debidas condiciones iniciales y de contorno y el segundo principio de la termodinámica para distinguir qué solución es válida en algunos casos en los que varias son posibles Otros artículos sobre las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos Las ecuaciones en forma integral de conservación Las ecuaciones en forma diferencial de no conservación Categorías Física Matemáticas Artículos publicados el mismo mes Permalink http sgcg es articulos 2011 11 13 ecuaciones de euler de la mecanica de fluidos 2 Volver arriba Volver arriba De vuelta a la página principal Sitios amigos

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  • Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (1) - SGCG
    siempre actúa en la direccion perpendicular a la superficie es positiva cuando apunta hacia el interior del volumen es decir cuando hay compresión y la normal n está definida como positiva hacia el exterior Esfuerzos de presión flechas azules sobre un elemento fluido mancha gris Podemos aplicar el teorema del transporte de Reynolds a cada una de las componentes de la velocidad con lo que obtenemos tres ecuaciones Con el fin de ser más escuetos podemos expresar las ecuaciones de forma vectorial Queda lo que sigue d d t P V t ρ v d V S ρ v v n d S S p n d S Ésta es la ecuación de la cantidad de movimiento escrita en forma integral para un volumen de control fijo Ecuación de la energía La última ecuación que necesitamos es primer principio de la termodinámica que en una de sus formas dice que la energía total E suma de la energía interna y la energía mecánica es igual a la suma del calor y el trabajo aportados por el exterior Por hipótesis no hay más energía mecánica en el fluido que la cinética La energía total será por lo tanto la integral de las energías interna y cinética por unidad de volumen en la región ocupada por la masa de control También por hipótesis no hay calor aportado por el exterior que se transmitiría por conducción o radiación y el trabajo es el de la única fuerza la de presión La variación de la energía total con el tiempo es igual a la potencia de estas fuerzas de presión Por lo tanto obtenemos esta expresión de la ecuación de la energía d d t E d d t V m t ρ e ρ v 2 2 d V S m t p n v d S El criterio de signos como antes nos obliga a poner un menos delante del término de la presión Ahora apliquemos como antes el teorema del transporte de Reynolds para ver lo que pasa en un volumen de control fijo Nos queda esta ecuación d d t E d d t V ρ e ρ v 2 2 d V S ρ e ρ v 2 2 v n d S S p n v d S Ésta es la ecuación de la energía escrita en forma integral para un volumen de control fijo Todo junto Reunamos las ecuaciones de la conservación de la masa de la cantidad de movimiento y de la energía Si introducimos las magnitudes tensoriales I el tensor unitario tal que I n para cualquier vector n v v el producto tensorial de la velocidad por sí misma podemos escribir las ecuaciones de Euler completamente en forma de conservación lo que varía una magnitud en un volumen es compensado por unos flujos a través de la frontera de este volumen V t ρ d V S ρ v n d S 0 V t ρ v d V S ρ v v p

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  • Derivada convectiva - SGCG
    térmica En el instante t la partícula fría se encuentra a la altura del termómetro fijo En el instante t d t la partícula caliente ha pasado a ocupar su lugar El termómetro se ha calentado muy deprisa pero cada partícula conserva su temperatura Relación entre las dos derivadas la derivada convectiva Las partículas materiales se mueven En cada punto x podemos medir la velocidad instantánea de la partícula que lo ocupa y definir con ello un campo de velocidades v t x Los puntos del espacio están fijos el campo de velocidades es la velocidad a la que las particulas materiales atraviesan cada punto Fijémonos en un punto fijo del espacio x En el instante t sus propiedades son C e t x Tras un cortísimo espacio de tiempo d t sus propiedades habrán pasado a valer C e t d t x C e t x t C e t x d t De igual manera si mantenemos fijo el tiempo y pasamos a medir a un punto próximo x d x separado por una distancia infinitesimal las propiedades pasan a valer C e t x d x C t x C t x d x Fijémonos en la partícula material X 0 En el instante t ocupa la posición del espacio x y se mueve con velocidad v t x Tras un cortísimo espacio de tiempo en el instante t d t pasa a la posición x v t x d t es decir experimenta un desplazamiento infinitesimal d x v t x d t Sus propiedades pasan del valor C l t X 0 C e t d t x d x Con lo que sabemos del párrafo anterior deducimos que el incremento d C l t x de las propiedades entre ambos instantes es d C l t x t C e t x d t C e t x v t x d t Si dividimos entre el incremento infinitesimal de tiempo d t obtenemos la relación entre la derivada temporal de la partícula material y las derivadas parciales temporal y espacial de la descripción euleriana d d t C l t C e v C e D D t C e Hemos introducido el símbolo D D t t v para referirnos a la derivada convectiva o derivada sustancial Este nombre viene se debe al término dependiente de la velocidad el término convectivo que es el que describe los cambios de las propiedades en un punto debido al desplazamiento de las partículas materiales es decir la convección Hay autores que usan otros nombres Fuente de no linealidades La derivada temporal habitual es un operador lineal con todas sus útiles propiedades la derivada de una suma es la suma de las derivadas la derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función Si el campo sometido a la derivada convectiva no tiene términos en la velocidad entonces la operación también es lineal aunque

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  • Descripción lagrangiana y descripción euleriana - SGCG
    como su temperatura o los artículos que porta en la cesta de la compra que pueden variar con el tiempo t y que denotarmeos mediante el símbolo C l t X 0 Trayectoria de una partícula como función de su posición inicial y del tiempo Descripción euleriana Ahora vamos a estudiar no los objetos materiales sino los puntos x del espacio Cada uno de estos puntos puede estar ocupado por un objeto material con ciertas propiedades y podemos describir por lo tanto las propiedades presentes en el punto del espacio x en el instante t mediante el símbolo C e t x Relación entre ambas descripciones Al menos de forma simbólica podemos establecer rápidamente de qué forma están relacionadas las descripciones lagrangiana y euleriana Supongamos que la partícula X 0 ocupa en el instante t la posición X t X 0 x Las propiedades de la partícula según la descripción lagrangiana son las propiedades del punto según la descripción euleriana C l t X 0 C e t X t X 0 De igual manera que la trayectoria de las partículas X t X 0 nos sirve como una aplicación que pasa del espacio de las etiquetas asociadas a los puntos materiales es decir sus posiciones iniciales X 0 al espacio de los propios puntos x podemos hacer la transformación inversa al menos si no hay fenómenos singulares tales como el colapso de dos partículas materiales y su unión en una única partícula Formalmente y con cierto abuso de notación podemos escribir esta transformación inversa así X 1 t x X 0 De esta manera establecemos la equivalencia entre las dos descripciones C e t x C l t X 1 t x Las transformaciones directa e inversa es decir las trayectorias de las partículas en función del tiempo o las posiciones iniciales de las partículas en función de sus posiciones finales en cierto instante no suelen ser conocidas de antemano sino que suelen ser parte de la solución del problema Muchos modelos físicos son relativamente fáciles de plantear con una descripción y difíciles de plantear con la otra Por ejemplo los modelos de mecánica de fluidos suelen prestarse muy bien a la descripción euleriana mientras que los de grandes deformaciones de cuerpos sólidos suelen ser más cómodos de tratar con una descripción lagrangiana Descripciones mixtas A veces sucede que resulta conveniente combinar la descripción lagrangiana y la descripción euleriana Por ejemplo si queremos estudiar la caída de la nieve podemos diseñar un modelo matemático en el que los copos de nieve son pequeñas partículas puntuales a las que seguimos con una descripción lagrangiana mientras que la parte gaseosa de la atmósfera es un gas continuo que estudiamos mediante una descripción lagrangiana También sucede a menudo en problemas de interacción fluido estructura que el medio fluido se deja atacar mediante una descripción euleriana y la estructura en cambio se resiste mucho menos a una descripción lagrangiana Categorías Física Matemáticas Artículos publicados el mismo mes Permalink http sgcg es articulos 2011

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  • Teorema del transporte de Reynolds - SGCG
    partícula por partícula así que el seguimiento se vuelve muy poco práctico Llega el teorema del transporte de Reynolds Ahora supongamos que tenemos un volumen de control fijo V que en el preciso instante t coincide con el volumen V m t ocupado por la masa de control V V m t La frontera del volumen de control es la superficie S Podemos integrar las variables intensivas c t x en este volumen para obtener las variables extensivas C v t correspondientes C v t V c t x d V Un cortísimo instante más tarde en el tiempo t d t los dos volúmenes no tienen por qué coincidir Por lo tanto el ritmo de variación de las variables extensivas en el volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las variables extensivas en la masa de control Ahora bien podemos relacionarlos Cada punto x de la frontera de la masa de control se desplaza a una velocidad v t x La dirección normal hacia el exterior a la frontera del volumen de control es el vector unitario n x Por lo tanto la velocidad normal v n x a la que se separa la frontera de la masa de control de la del volumen de control es v n t x v t x n x La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de control cuando la anterior expresión es negativa y sale cuando es positiva Velocidad normal a la frontera Cierta parte de la masa de control sale del volumen de control mientras que otra parte entra Fijémonos en un punto x de la frontera del volumen de control Definamos un elemento diferencial de superficie de frontera d S alrededor de este punto Como el incremento de tiempo d t es extremadamente pequeño podemos despreciar cualquier variación de la velocidad v t x a la que se desplaza la frontera de la masa de control entre el instante t y el instante t d t En este tiempo habrá entrado dentro del volumen de control una pequeña cantidad de material de volumen v n x d t d S El signo negativo se debe a que si la velocidad relativa es negativa el material entra mientras que si la velocidad relativa es positiva el material sale Esta pequeña cantidad de material que entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de propiedades físicas v n x d t d S c t x La suma la integral de esta contribución por toda la superficie de la frontera del volumen de control será igual a la cantidad de las variables extensivas que habrá entrado menos la que habrá entrado en el volumen de control en el intervalo de tiempo entre t y t d t d t S c t x v n x d S Elemento de una masa de control que atraviesa un volumen de control Equivale a la región barrida por un elemento de área

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  • Ondas planas y relaciones de dispersión - SGCG
    por ejemplo las que dictan que el campo magnético y el campo eléctrico son perpendiculares en un rayo de luz y unas relaciones de dispersión que indican cómo están relacionados el número de onda y la pulsación Ejemplo ecuación de ondas unidimensional La ecuación de ondas unidimensional es muy famosa y muy fácil de resolver Es el prototipo de ecuación hiperbólica de segundo orden Sus soluciones se propagan en el espacio hacia adelante y hacia atrás sin pérdidas Esta ecuación sirve para modelar fenómenos tan aparentemente dispares como el sonido en un pasillo largo y estrecho un rayo de luz y el campo de velocidades alrededor de un obstáculo bidimensional y muy delgado en una corriente de aire supersónica en este caso la dirección de la corriente actúa a modo de tiempo y la dirección perpendicular al obstáculo actúa a modo de espacio Para un campo u t x la ecuación de ondas es ésta 2 u t 2 c 2 2 u x 2 0 La constante c es la rapidez a la que se propagan las ondas Introduzcamos la solución de onda plana u t x u k e i k x ω t en la ecuación de ondas Tras operar un poco obtenemos la siguiente relación de dispersión ω 2 c 2 k 2 0 Según esto la pulsación ω y el número de onda k son directamente proporcionales Relación de dispersión de la ecuación de ondas unidimensional Ejemplo ecuación de Schrödinger de la partícula libre La ecuación de Schrödinger sirve para modelar el comportamiento de pequeñas partículas no relativistas y olas de pequeña amplitud en la superficie del agua aunque la ecuación de Schrödinger para las olas del agua en el régimen interesante tiene un término no lineal Con las unidades adecuadas la ecuación de Schrödinger para un campo libre u t x es ésta i u t 2 u El operador 2 es la laplaciana la suma de las derivadas segundas en todas las direcciones del espacio Introduzcamos la solución de onda plana u t x u k e i k x ω t en la ecuación de campo Tras unas sencillas operaciones obtenemos la siguiente relación de dispersión ω k k En este caso la relación entre la pulsación y el número de onda es no lineal Se dice que la ecuación de campo es dispersiva ya que ondas de distinta frecuencia se propagan a velocidades distintas Relación de dispersión de la ecuación de Schrödinger libre Ejemplo acústica Para terminar vamos a ver cómo se comportan dos campos acoplados el de presión y el de velocidades como pequeñas perturbaciones en un gas ideal estacionario El campo de perturbaciones de presión es p t k y el campo de velocidades de perturbación es u t x Es llegar a las ecuaciones de campo que en las unidades adecuadas en concreto la presión está expresada en unidades de la presión de la atmósfera en calma dividida por la densidad de la atmósfera en calma son así

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  • Geocentrismo y heliocentrismo - SGCG
    coordenadas de nuevo tras ajustar los parámetros a las observaciones actuales El volumen de cálculo es el mismo y el rango de aplicación es el mismo Como los deferentes de los planetas coinciden en el Sol este modelo también es descrito como un híbrido entre geocéntrico y heliocéntrico Estos tres modelos hablan del Sistema Solar y ni siquiera de todo el Sistema Solar Originalmente modelaban todo el Universo pero nos centraremos en el Sol Mercurio Venus la Tierra Marte Júpiter Saturno y la Luna porque la descripción de otros cuerpos era de escasísima calidad Si queremos describir las estrellas distantes tenemos que incorporarlas de alguna manera a los modelos Si las tomamos como fijas en el modelo copernicano y en órbitas circulares geocéntricas en el modelo ticónico entonces el modelo copernicano es ligerísimamente más preciso pero hay errores más importantes que las posiciones de las estrellas como la no circularidad de las órbitas de los planetas Si hacemos que las estrellas distantes giren en epiciclos centrados en el Sol entonces el modelo ticónico vuelve a ser equivalente al copernicano Curiosamente en el siglo XVII las mismas autoridades eclesiásticas que reprimían el uso del modelo copernicano aceptaban el uso del modelo ticónico a pesar de que ambos eran a todos los efectos equivalentes El cambio de coordenadas o cómo pasar del sistema heliocéntrico al sistema geocéntrico Si partimos de un modelo heliocéntrico podemos llegar a un modelo geocéntrico equivalente sin más que hacer un sencillo cambio de coordenadas Ambos modelos serán igual de válidos De hecho con la artillería matemática de la que disponemos y de la que carecían nuestros antepasados podemos situar el origen de coordenadas en cualquier lugar en general móvil y en rotación y describir el Sistema Solar de la manera que nos resulte más cómoda en cada momento Vamos a ver que el modelo geocéntrico de epiciclos como el de Ptolomeo o más bien como el de Tycho Brahe y el modelo heliocéntrico de órbitas circulares como el de Copérnico son equivalentes entre sí Podemos pasar del modelo heliocéntrico al modelo geocéntrico sin más que hacer un cambio de coordenadas Vamos a verlo Supongamos que en el modelo heliocéntrico la Tierra describe órbitas de radio R E alrededor del Sol con una velocidad angular ω E mientras que Marte hace lo propio con un radio R M y una velocidad angular ω M Ambas órbitas están contenidas en un plano y podemos representar en cada instante de tiempo t el radio vector de la Tierra mediante el número complejo r E R E e i ω E t mientras que el radio vector de Marte queda representado mediante el número complejo r M R M e i ω M t La parte real y la parte imaginaria del número complejo corresponden a las coordenadas según dos ejes perpendiculares entre sí y contenidos en el plano orbital Las constantes R E y R M tienen la fase necesaria para representar las posiciones iniciales de la Tierra y Marte

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