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  • Mínimo consumo de un vehículo automóvil - SGCG
    requerida constante Para una velocidad dada aumentar el régimen ir a la derecha en el mapa supone reducir la marcha mientras que reducir el régimen ir a la izquierda en el mapa supone ir a una marcha más elevada Aquí hay mucha información Podemos movernos por el mapa al variar el par motor y al variar el régimen El par T y el régimen Ω están relacionados con la potencia P P T Ω Si conocemos la potencia P es decir si conocemos a qué velocidad nos desplazamos cómo sopla el viento cuál es la pendiente del terreno y conocemos el régimen de giro del motor basta mirar el tacómetro podemos saber en qué punto del mapa estamos y por lo tanto el consumo específico Si pudiéramos variar de forma arbitraria el régimen de giro del motor si tuviéramos un cambio continuo entonces tendríamos que buscar la tangencia de la curva de potencia constante en la que estamos con una curva de isoconsumo En la práctica este punto óptimo suele estar situado en la zona de régimen bajo o marcha alta Con un cambio discreto unas pocas marchas diferenciadas el óptimo de cambio continuo infinitas marchas infinitamente próximas entre ellas no será alcanzable en general pero siempre habrá un régimen una marcha más económico que los demás para una potencia dada y este régimen no estará muy lejos del de tangencia de la curva de potencia constante y la curva de isoconsumo Parece que la situación es más complicada y no nos sirve de mucho el criterio de buscar el régimen de máximo par en la curva de actuaciones a máxima carga La conclusión que podemos extraer de un mapa de actuaciones típico es que para una rapidez dada y por lo tanto una potencia dada suele ser conveniente llevar una marcha larga que permita mantener bajo el régimen de giro del motor El mapa de consumo que hemos visto es de un vehículo con motor TDI Otras tecnologías dan lugar a mapas algo diferentes pero la conclusión de que suele ser conveniente ir en una marcha larga a bajo régimen es bastante general Qué pasa si sí podemos permitirnos conducir más despacio Entonces si vamos rápido por carretera entonces suele ser posible conducir un poco más despacio y reducir el consumo de forma notable Lo que hacemos entonces es movernos a una curva de potencia constante a la izquierda en el mapa Es posible que con ello aumentemos nuestro consumo específico C E pero reduciremos mucho más la relación P V de la potencia requerida entre la rapidez Esta relación crece muy deprisa con la rapidez V a cuyas variaciones el consumo específico es casi insensible en el caso que estamos estudiando Variación del combustible consumido frente a la rapidez de un turismo TDI típico El efecto de la variación del consumo específico es insignificante Todo esto está muy bien pero no es habitual disponer de todos estos datos Qué podemos hacer para minimizar el gasto de combustible de

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  • Braquistócrona - SGCG
    t 0 δ x I x δ y I y d z Δ t δ x d d z I x δ y d d z I y d z En la última expresión hemos hecho uso del hecho de que los puntos de origen y destino son fijos δ x z A δ y z A δ x z B δ y z B 0 Como las variaciones son por lo demás arbitrarias la integral sólo puede ser nula si se cumplen las siguientes condiciones a lo largo de toda la trayectoria d d z I x 0 d d z I y 0 Éstas son las ecuaciones de Euler Lagrange del problema de diseño de la braquistócrona Una vez obtenidas las ecuaciones diferenciales junto con sus condiciones de contorno que consisten en obligar a la curva a partir del punto de origen y terminar en el punto de destino podemos pasar a integrarlas Vemos que podemos integrar una vez sin esfuerzo I x C x I y C y C x y C y son constantes de integración que podemos relacionar de la siguiente manera con otro juego de constantes C y φ C x C cos φ C x C sin φ Las ecuaciones quedan una vez desarrolladas de esta manera x C cos φ z A z 1 x 2 y 2 1 2 y C sin φ z A z 1 x 2 y 2 1 2 Ambas ecuaciones tienen la misma forma salvo por factores constantes Podemos expresar la coordenada lateral y en función de la coordenada longitudinal x d y d x y x tan φ Demostramos con esto que la braquistócrona es una curva plana Como elegimos los ejes de coordenadas de modo que la coordenada lateral es nula tanto en el origen y A 0 como en el destino y B 0 deducimos que la coordenada lateral es nula a lo largo de toda la trayectoria y 0 Podemos suponer que cos φ 1 y asumir que la constante de integración C puede tener cualquier signo Con todo esto la ecuación diferencial es finalmente x C z A z 1 x 2 1 2 Con unas pocas manipulaciones la ecuación queda claramente en variables separadas d x d z C z A z 1 2 1 C 2 z A z 1 2 Vamos a hacer un cambio de variable σ C z A z 1 2 La ecuación diferencial queda así C 2 d x 2 σ 2 d σ 1 σ 2 1 2 Esta ecuación pide a gritos otro cambio de variable σ sin θ Con este cambio nuestra ecuación mejora significativamente su aspecto C 2 d x 1 cos 2 θ d θ Hagamos un último cambio para que la estética mejore un poquito η 2 θ La ecuación adopta finalmente este aspecto tan sencillito 2 C 2 d x 1 cos η d η Ahora sólo queda hacer una integral que es inmediata La curva braquistócrona

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  • Ley de gravitación universal (3) - SGCG
    a todo el espacio y A y B son constantes que tendremos que ajustar Esta energía potencial total es muy sencilla pero contiene información suficiente para generar campos interesantes el primer sumando es una energía debida a la propia deformación del potencial y el segundo término acopla la densidad con el potencial de manera que convierte la densidad en la fuente del potencial gravitatorio En el equilibrio la energía potencial total se vuelve estacionaria Π 0 Suponemos que en el infinito lejos de cualquier volumen de interés no hay masa y la aceleración gravitatoria y por lo tanto el gradiente del potencial gravitatorio tiende a cero Con estos datos y una mínima manipulación la variación de la energía potencial total adopta la forma siguiente para una variación arbitraria δ φ x que verifica la condición de gradiente nulo en el infinito 0 Π A 2 φ x B ρ x δ φ x d x 3 Como la variación del potencial gravitatorio es arbitraria la expresión entre corchetes ha de anularse en todos los puntos del espacio A 2 φ x B ρ x 0 Si elegimos bien el valor de las constantes recuperamos la ecuación que vimos en el artículo anterior 2 φ x 4π G ρ x Ya vimos que esta ecuación es una forma diferencial de expresar la ley de gravitación universal Hemos acertado por lo tanto en nuestra elección de la energía potencial total del campo gravitatorio Analogía elástica Podemos llegar a la forma de la energía potencial total del campo gravitatorio mediante una analogía con la elastostática lineal Esta analogía es muy bonita pero es casi completamente necesario saber precisamente de elastostática lineal para comprenderla Si no hubiera masas el potencial gravitatorio sería idénticamente nulo en todo el espacio La masa fuerza el campo y lo desplaza de su valor de reposo el valor nulo hasta una configuración φ x El potencial gravitatorio es equivalente a un campo de desplazamientos de dimensión 1 La densidad ρ x como fuente del potencial gravitatorio es proporcional a la fuerza por unidad de volumen que genera el campo de desplazamientos B x ρ x El potencial o campo de desplazamientos experimenta una deformación que es igual a su variación espacial φ x El campo gravitatorio experimenta unas tensiones internas Supondremos que estas tensiones están relacionadas con las deformaciones conforme a esta ecuación constitutiva lineal A x φ x B x es un tensor de orden dos La energía potencial total será igual a la suma de una energía de deformación interna U y una energía debida al trabajo externo V La energía de deformación interna es debida al trabajo de las tensiones sobre las deformaciones U 1 2 φ x A x φ x d x 3 El factor multiplicativo 1 2 se debe a que la deformación y la tensión están relacionadas linealmente φ x A x φ x d φ x 1 2 φ x A x φ x La energía del trabajo externo es debida

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  • Ley de gravitación universal (2) - SGCG
    Supondremos un modelo extremadamente simple tal que la fuente es proporcional a la densidad ρ x con la que la masa está distribuida por el espacio s x A x ρ x y el flujo es proporcional a la derivada del potencial gravitatorio φ x en la dirección normal n al elemento de superficie por fijar ideas dirigida hacia el exterior del volumen f x B n x x n x φ x Como no tenemos motivos para pensar que la forma en la que se propaga la gravedad depende del lugar o de la dirección supondremos que el espacio es homogéneo e isótropo de modo que las variables de proporcionalidad A x y B n x x pasan a ser constantes independientes del punto y de la dirección Si reagrupamos las constantes de forma astuta nos queda la siguiente ecuación V 4π G ρ x d V S n x φ x d S La constante G es la constante de gravitación universal el término 4π no está absorbido en su valor por meros motivos históricos y de comodidad en otras expresiones que no en ésta Podemos modificar la última ecuación para obtener otra un poquito más conocida Si aplicamos el teorema de la divergencia para convertir la integral de superficie en una integral de volumen nos queda lo siguiente V 4π G ρ x d V V 2 φ x d V En la anterior ecuación el símbolo 2 es la laplaciana es decir la divergencia del gradiente Como el volumen de integración es completamente arbitrario obtenemos la siguiente ecuación diferencial 2 φ x 4π G ρ x Se trata de la conocidísima y estudiadísima ecuación de Poisson una ecuación elíptica que aparece en toda clase de problemas de equilibrio Todas las anteriores ecuaciones están muy bien pero hace falta una condición de contorno razonable para que el problema de encontrar el potencial gravitatorio dada una distribución de densidad esté bien planteado Podemos suponer que en el infinito mucho más lejos que el volumen de interés en el que queremos obtener el campo gravitatorio no hay masa y la aceleración gravitatoria la magnitud que podemos medir fácilmente desaparece De esta manera el valor del potencial no sus derivadas no aparece ni en la ecuación de campo cualquiera de las tres últimas ni en la condición de contorno así que tenemos el interesante resultado de que el potencial está definido salvo por un valor constante para todo el espacio El campo gravitatorio debido a una masa puntual ley de gravitación universal Una masa puntual M situada en el origen de coordenadas tiene una distribución de densidad en el espacio proporcional a una δ de Dirac ρ x M δ x La distribución δ de Dirac es tal que V δ x d V 1 si el volumen contiene el origen x 0 0 si no Introduzcamos la anterior distribución de densidad en la ecuación de campo 2 φ x 4π G M δ x La condición de contorno es

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  • Ley de gravitación universal - SGCG
    extiende el campo tenemos g 1 S La superficie de la esfera es proporcional a su radio r así que queda finalmente g 1 r 2 La intensidad del campo es proporcional a la masa M g M El campo gravitatorio apunta hacia la masa puntual fuente del campo tiene simetría esférica y su flujo a través de cualquier esfera imaginaria que contiene la masa puntual es constante Si juntamos los puntos anteriores obtenemos la siguiente expresión para el campo gravitatorio g medido en un punto de radio vector r y provocado por una masa puntual M situada en un punto de radio vector r 0 g r G M r r 0 r r 0 3 La constante de proporcionalidad G es universal es la misma en todas partes Nótese que aunque la distancia a la masa puntual aparece elevada al cubo en el denominador también figura linealmente en el numerador de modo que la magnitud de la aceleración gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia La masa puntual M atrae a la masa puntual m Una fuerza de atracción igual en magnitud y opuesta en sentido actúa sobre la masa puntual M Hemos postulado el campo gravitatorio producido por una masa puntual Qué pasa si tenemos varias masas No tenemos motivos para suponer una interacción entre los distintos campos gravitatorios así que confiaremos en que se cumplirá el principio de superposición el campo total es igual a la suma de los campos individuales producidos por cada una de las masas puntuales La aceleración provocada es con notación evidente g r i G M i r r i r r i 3 De igual manera si la masa está distribuida en el espacio con densidad ρ r 0 la aceleración gravitatoria es g r G ρ r 0 r r 0 r r 0 3 d r 0 3 La anterior integral está extendida por todo el volumen del cuerpo masivo que genera el campo gravitatorio Principio de superposición el campo gravitatorio total es igual a la suma de los campos gravitatorios individuales La fuerza gravitatoria F sobre una masa puntual m situada en el punto de radio vector r es fácil de obtener mediante cualquiera de las anteriores expresiones para la aceleración gravitatoria F m g r Si en vez de tener una masa puntual tenemos un cuerpo extenso de densidad ρ r entonces la fuerza gravitatoria total a la que está sometido este cuerpo es fácil de obtener mediante una integral F ρ r g r d r 3 La anterior integral es doble cuando el campo gravitatorio está generado por un cuerpo extenso F G ρ r ρ r 0 r r 0 r r 0 3 d r 3 d r 0 3 Suponer masas puntuales es lo bastante preciso en muchos casos prácticos pero no siempre En muchos casos es posible aproximar las integrales mediante sumas de momentos que convergen rápidamente y permiten ahorrar mucho tiempo de cálculo las aproximaciones de masas

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  • Efecto Venturi - SGCG
    la sección 2 y hemos despreciado el término que depende del potencial de fuerzas el conducto es horizontal por ejemplo Si combinamos las anteriores ecuaciones podemos calcular lo que pasa en la sección 2 en función de lo que pasa en la sección 1 v 2 v 1 A 1 A 2 p 2 p 1 1 A 1 A 2 2 ρ v 1 2 2 Si la sección 2 es una de estrechamiento entonces la corriente se acelera al llegar a ella y la presión baja Representación esquemática del efecto Venturi corte longitudinal de un tubo cuya pared está indicada por las áreas negras con las curvas de rapidez de la corriente y presión en función de la posición longitudinal Aplicaciones El efecto Venturi tiene muchos usos prácticos He aquí tres de ellos Se usa en carburadores para bajar la presión de una corriente de aire y por efecto de vacío arrastrar combustible Se usa para regular toda clase de aparatos de respiración Se usa en atomizadores para perfumes y pinturas estos atomizadores tienen el mismo principio de funcionamiento que los carburadores Categorías Física Artículos publicados el mismo mes Permalink http sgcg es articulos 2011 01 17 efecto venturi Volver arriba Volver arriba De vuelta a la página principal Sitios amigos Arte sobre hielo Cine Club Aeronáuticos La Tetera de Russell Oasis Urbano Danza Categorías Actualidad 147 Aeroespacio 64 Cine 23 Civismo 9 Cómic 20 Danza 13 Deporte 43 Derechos 95 Dibujos 79 DIY 39 Electricidad 22 Fechas 191 Física 55 Historia 16 Informática 44 Lingüística 41 Madrid 48 Matemáticas 34 Miscelánea 35 Química 8 Relatos 6 Salud 21 Volver arriba Calendario de artículos de mayo de 2013 lu ma mi ju vi sá do 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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  • ¿Está muy lejos la Luna? - SGCG
    rotación ω 2 π T y R es el radio de la órbita de la Luna La aceleración gravitatoria es a G M T R 2 En la anterior ecuación G es la constante de gravitación universal y M T es la masa de la Tierra No tenemos el valor de estas constantes pero sí sabemos el radio de la Tierra R T y la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre g g G M T R T 2 Si juntamos las anteriores ecuaciones podemos despejar el radio de la órbita lunar R g R T T 2 π 2 1 3 0 38 Gm Esta distancia es equivalente a unas treinta veces el diámetro de la Tierra Cómo de bueno es nuestro cálculo El radio orbital medio de la Luna es de 384400 km así que hemos cumplido nuestro objetivo de precisión Categorías Física Artículos publicados el mismo mes Permalink http sgcg es articulos 2011 01 11 esta muy lejos la luna Volver arriba Volver arriba De vuelta a la página principal Sitios amigos Arte sobre hielo Cine Club Aeronáuticos La Tetera de Russell Oasis Urbano Danza Categorías Actualidad 147 Aeroespacio 64 Cine 23 Civismo 9 Cómic 20 Danza 13 Deporte 43 Derechos 95 Dibujos 79 DIY 39 Electricidad 22 Fechas 191 Física 55 Historia 16 Informática 44 Lingüística 41 Madrid 48 Matemáticas 34 Miscelánea 35 Química 8 Relatos 6 Salud 21 Volver arriba Calendario de artículos de mayo de 2013 lu ma mi ju vi sá do 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 El 25 de mayo es el Día de la Toalla Volver arriba Archivo Mayo de 2013 1 Abril de 2013

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  • Desafiar las leyes de la física - SGCG
    que se conoce o incluso superar este límite si el desafío es serio Tras la pequeña reflexión del anterior párrafo todavía cabe preguntarse si se abusa mucho de eso de desafiar las leyes de la física Hay expresiones alternativas En efecto las hay He aquí algunos ejemplos El acróbata desafió las leyes de la física El acróbata sorprendió al público La estrella desafía las leyes de la física La estrella intriga a los investigadores El ilusionista desafía las leyes de la física El ilusionista sabe algo que tú no sabes Esta obra desafía las leyes de la física Presupuesto ilimitado oiga Sin contar el título este artículo contiene diez veces la expresión desafíar las leyes de la física o variaciones de ella Categorías Física Lingüística Artículos publicados el mismo mes Permalink http sgcg es articulos 2010 09 16 desafiar las leyes de la fisica Volver arriba Volver arriba De vuelta a la página principal Sitios amigos Arte sobre hielo Cine Club Aeronáuticos La Tetera de Russell Oasis Urbano Danza Categorías Actualidad 147 Aeroespacio 64 Cine 23 Civismo 9 Cómic 20 Danza 13 Deporte 43 Derechos 95 Dibujos 79 DIY 39 Electricidad 22 Fechas 191 Física 55 Historia 16 Informática 44 Lingüística 41 Madrid 48 Matemáticas 34 Miscelánea 35 Química 8 Relatos 6 Salud 21 Volver arriba Calendario de artículos de mayo de 2013 lu ma mi ju vi sá do 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 El 25 de mayo es el Día de la Toalla Volver arriba Archivo Mayo de 2013 1 Abril de 2013 11 Marzo de 2013 11 Febrero de 2013 11 Enero de 2013 12 Diciembre de 2012 13 Noviembre de

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